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要想理解 float 和 double 的取值范围和计算精度,必须先了解小数是如何在计算机中存储的:

举个例子:78.375,是一个正小数。要在计算机中存储这个数,需要把它表示为浮点数的格式,先执行二进制转换:

一 小数的二进制转换(浮点数)

78.375 的整数部分:

小数部分:

所以,78.375 的二进制形式就是 1001110.011

然后,使用二进制科学记数法,有

注意,转换后用二进制科学记数法表示的这个数,有底有指数有小数部分,这个就叫做浮点数


二 浮点数在计算机中的存储

在计算机中,保存这个数使用的是浮点表示法,分为三大部分:

部分用来存储符号位(sign),用来区分正负,这里是 0,表示正数

第二部分用来存储指数(exponent),这里的指数是十进制的 6

第三部分用来存储小数(fraction),这里的小数部分是 001110011

需要注意的是,指数也有正负之分,后面再讲。

如下图所示:

比如float类型是32位,是单精度浮点表示法:

符号位(sign)占用1位,用来表示正负数。

指数位(exponent)占用 8 位,用来表示指数。

小数位(fraction)占用 23 位,用来表示小数,不足位数补 0。

而 double 类型是 64 位,是双精度浮点表示法:

符号位占用 1 位,指数位占用 11 位,小数位占用 52 位。

到这里其实已经可以隐隐看出:

指数位决定了大小范围,因为指数位能表示的数越大则能表示的数越大嘛!

而小数位决定了计算精度,因为小数位能表示的数越大,则能计算的精度越大咯!

可能还不够明白,举例子吧:

float 的小数位只有 23 位,即二进制的 23 位,能表示的更大的十进制数为 2 的 23 次方,即 8388608,即十进制的 7 位,严格点,精度只能百分百保证十进制的 6 位运算。

double 的小数位有 52 位,对应十进制更大值为 4 503 599 627 370 496,这个数有 16 位,所以计算精度只能百分百保证十进制的 15 位运算。


三 指数位的偏移量与无符号表示

需要注意的是指数可能是负数,也有可能是正数,即指数是有符号整数,而有符号整数的计算是比无符号整数麻烦的。所以为了减少不必要的麻烦,在实际存储指数的时候,需要把指数转换成无符号整数。那么怎么转换呢?

注意到 float 的指数部分是 8 位,则指数的取值范围是 -126 到 +127,为了消除负数带来的实际计算上的影响(比如比较大小,加减法等),可以在实际存储的时候,给指数做一个简单的映射,加上一个偏移量,比如float的指数偏移量为 127,这样就不会有负数出现了。

比如:

指数如果是 6,则实际存储的是 6+127=133,即把 133 转换为二进制之后再存储。

指数如果是 -3,则实际存储的是 -3+127=124,即把 124 转换为二进制之后再存储。

当我们需要计算实际代表的十进制数的时候,再把指数减去偏移量即可。

对应的 double 类型,存储的时候指数偏移量是 1023。


四 最后

所以用float类型来保存十进制小数78.375的话,需要先转换成浮点数,得到符号位指数小数部分。这个例子前面已经分析过,所以:

符号位是0,指数位是6+127=133,二进制表示为10 000 101,小数部分是001110011,不足部分请自动补0。

连起来用 float 表示,加粗部分是指数位,最左边是符号位 0,代表正数:

0 10000101 001110011 00000 00000 0000

如果用 double 来保存。。。自己计算吧,太多 0 了。

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